Teorema del resto

En álgebra el teorema del resto afirma que el resto ${\displaystyle r\,}$, que resulta al dividir un polinomio ${\displaystyle p(x)\,}$ entre ${\displaystyle x-a\,}$, es igual a ${\displaystyle p(a)\,.}$^[1]​^[2]​

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que

${\displaystyle p(x)=q(x)c(x)+r(x)\,,}$

donde ${\displaystyle p(x)\,}$ es el dividendo, ${\displaystyle q(x)\,}$ el divisor, ${\displaystyle c(x)\,}$ el cociente y ${\displaystyle r(x)\,}$ el resto y verificándose además, que el grado de ${\displaystyle r(x)\,}$ es menor que el grado de ${\displaystyle q(x)\,}$.

En efecto, si tomamos el divisor ${\displaystyle q(x)=x-a\,}$ entonces ${\displaystyle r(x)\,}$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:

${\displaystyle p(x)=(x-a)c(x)+r\,.}$

Tomando el valor ${\displaystyle x=a\!\,}$ se obtiene que:

${\displaystyle {\frac {}{}}p(a)=r}$

El teorema del resto nos permite calcular ${\displaystyle p(a)\,}$ calculando el resto o viceversa. También puede deducirse de él, fácilmente, el teorema del factor, de gran utilidad para descomponer un polinomio en factores.

Ejemplo

Sea ${\displaystyle p(x)=x^{3}-3x^{2}-7\,}$.

Al dividir ${\displaystyle p(x)}$ por ${\displaystyle x-2}$ obtenemos el cociente

${\displaystyle c(x)=x^{2}-x-2\,}$ y el resto ${\displaystyle r=-11\,}$.

Podemos asegurar entonces, que ${\displaystyle p(2)=-11\,}$,

Teorema del factor

Una consecuencia directa es que ${\displaystyle (x-a)}$ es un factor del polinomio ${\displaystyle f(x)}$ si y solo si ${\displaystyle f(a)=0}$.

Referencias