Teoría del transporte radiativo

La teoría del transporte radiativo, también conocida como la teoría de la radiación, es una herramienta matemática que ayuda a entender la interacción entre materia (un medio como puede ser el gas) y la energía (como puede ser la luz). Desarrollada desde principios del siglo XX, principalmente por el físico y matemático indio Subrahmanyan Chandrasekhar.

Definición matemática

La cantidad de energía ${\displaystyle dI}$ que pasa a través de un medio con una opacidad ${\displaystyle \kappa _{\nu }}$ y una emisividad ${\displaystyle \epsilon _{\nu }}$ en una distancia ds se define como:

${\displaystyle {\frac {dI}{ds}}=\epsilon _{\nu }-\kappa _{\nu }I_{\nu }}$

donde ${\displaystyle I_{\nu }}$ es la intensidad especifica. Si se define la distancia ds en términos de la profundidad geométrica:

${\displaystyle dx=ds\cos(\theta )=\mu ds}$

y se divide entre ${\displaystyle \kappa _{\nu }}$, se tiene:

${\displaystyle \mu {\frac {dI_{\nu }}{\kappa _{\nu }dS}}={\frac {\epsilon _{\nu }}{\kappa _{\nu }}}-{\frac {I_{\nu }}{\mu }}}$

Utilizando la ley de Kirchoff y la definición de profundidad óptica se llega a:

${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{d\tau }}-{\frac {S_{\nu }}{\mu }}=-{\frac {I_{\nu }}{\mu }}}$

donde ${\displaystyle \tau }$ es la profundidad óptica y ${\displaystyle S_{\nu }}$ es la función fuente.

Si se multiplica por su factor integrante ${\displaystyle \exp(-\tau /\mu )}$ se llega a la solución general de la teoría del transporte radiativo:

${\displaystyle I_{\nu }(\tau _{2})=I_{\nu }(\tau _{1})\exp(-(\tau _{1}-\tau _{2})/\mu )-{\frac {1}{\mu }}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}S_{\nu }(\tau )\exp(-(\tau -\tau _{2})/\mu )d\tau }$

Dependiendo de los valores de frontera se puede llegar a resultados clásicos. Por ejemplo, si se supones que la función fuente es constante (${\displaystyle S_{\nu }(\tau )=C}$), que la atmósfera es plano paralela infinita y solo se toma en cuenta la emisión de propagación hacia el observador (${\displaystyle \mu =1}$), entonces la emisión saliente (${\displaystyle I_{\nu }(\tau =0)}$) será:

${\displaystyle I_{\nu }=I_{\nu }(\tau )\exp(-\tau )+S_{\nu }(1-\exp(-\tau ))}$