Para la matriz utilizada para calcular la inversa de una matriz, véase matriz de adjuntos.
En matemáticas, la matriz transpuesta conjugada, matriz adjunta o simplemente adjunta de una matriz
, es una matriz
(también denotada como
, o como
) obtenida de A mediante la obtención de su transpuesta y después de su conjugada compleja.
El traspuesto conjugado de una matriz
es definido como
, que es el traspuesto de
y todos los elementos
conjugados. Nota que si
, es decir, si los elementos de
son reales, la adjunta de
coincide con su traspuesta. También nombrado hermítico adjunto, la hermítica o hermítico conjugado. El nombre viene del matemático Charles Hermite.
Definición
Si
es una matriz de n x m sobre los complejos:
de la forma:
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19e7ee57e55b1219cd3473d8e7e1a3be7abc22b)
Entonces la adjunta se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento y después permutando de filas por columnas o viceversa en la matriz
, produce a la matriz traspuesta:
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\bar {a}}_{11}&{\bar {a}}_{21}&{\bar {a}}_{31}&\cdots &{\bar {a}}_{n1}\\{\bar {a}}_{12}&{\bar {a}}_{22}&{\bar {a}}_{32}&\cdots &{\bar {a}}_{n2}\\{\bar {a}}_{13}&{\bar {a}}_{23}&{\bar {a}}_{33}&\cdots &{\bar {a}}_{n3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\bar {a}}_{1m}&{\bar {a}}_{2m}&{\bar {a}}_{3m}&\cdots &{\bar {a}}_{mn}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be087429a95baa96d34523c6fab8870122eefae1)
Ejemplo
Una matriz
tiene el traspuesto conjugado
Propiedades
Una matriz cuadrada
será una matriz autoadjunta, si y solo sí, n = m y
. Sean además A y B matrices apropiadas para las siguientes operaciones, a partir de la definición se tienen las siguientes propiedades:
, involución.
, adición de matrices.
, producto por escalares.
, inversión de la multiplicación
si la matriz es invertible.
Referencias
Bibliografía
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
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