Convergencia en probabilidad

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La convergencia en probabilidad se da cuando a medida que ${\displaystyle n}$, o el tamaño de muestra, aumenta entonces la variable aleatoria (v.a.) toma valores cercanos a una constante ${\displaystyle c}$ con mayor probabilidad. Un ejemplo sencillo de esto sería, dado una v.a. que toma 2 valores c con probabilidad ${\displaystyle 1-1/n}$ y ${\displaystyle n}$ con probabilidad ${\displaystyle 1/n}$. Entonces al hacer crecer n lo que ocurre es que el valor "n" de la v.a. aumenta pero su probabilidad disminuye a una velocidad de (1/n) mientras que la probabilidad de que la v.a. tome el valor c va tendiendo a 1.

Sea ${\displaystyle X_{n}}$ una variable aleatoria cuyo índice señala el tamaño de la muestra a partir de la cual dicha variable aleatoria está construida.

Se define convergencia en probabilidad

Se dice que la sucesión de variables aleatorias ${\displaystyle X_{n}}$ converge en probabilidad a una constante c si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P(|X_{n}-c|>\varepsilon )=0}}$ para cualquier ${\displaystyle \varepsilon }$ >0, también se escribe como ${\displaystyle X_{n}{\overset {P}{\rightarrow }}c}$.

El resultado anterior, con ayuda de las propiedades de valor absoluto se puede ver como

${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-c|>\epsilon )=\lim _{n\to \infty }P(X_{n}-c>\epsilon \ \cup \ c-X_{n}>\epsilon )}}$

Implicaciones

Sea ${\displaystyle (\Omega ,\digamma ,P)}$ un espacio de probabilidad, ${\displaystyle X_{n},X:\Omega \rightarrow R}$ variables aleatorias. Entonces si la sucesión de ${\displaystyle X_{n}}$ converge casi seguramente, lo hace tambien en probabilidad.