Mittag-Leffler-Funktion

Die Mittag-Leffler-Funktion ist eine nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannte mathematische Funktion, die in den Lösungen von bestimmten fraktionalen Integralgleichungen auftaucht (z. B. bei der Untersuchung von Zufallsbewegungen oder Lévy-Flügen). Sie ist gegeben durch

E α ( x ) = ∑ k = 0 ∞ x k Γ ( α k + 1 ) {\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}} ,

wobei Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} die Gammafunktion ist. Die Reihe konvergiert für alle α {\displaystyle \alpha } mit positivem Realteil. Im Spezialfall α = 1 {\displaystyle \alpha =1} ergibt sich die Exponentialfunktion.

Die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion beschreibt eine Interpolation zwischen exponentiellem und polynomialen Verhalten und ist gegeben durch

E α , β ( x ) = ∑ k = 0 ∞ x k Γ ( α k + β ) {\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}} .

Spezialfälle dieser Funktion sind

  • Gaußsche Fehlerfunktion:
E 1 / 2 , 1 ( z ) = exp ⁡ ( z 2 ) erfc ⁡ ( − z ) {\displaystyle E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z)}
  • Hyperbelsinus:
E 2 , 1 ( z ) = cosh ⁡ ( z ) {\displaystyle E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}})}

Literatur

  • M.G. Mittag-Leffler: Sur la nouvelle fonction E_alpha(x). In: Comptes Rendus de l'Académie des sciences 137/1903, S. 554–558
  • R.K. Saxena, A.M. Mathai H.J. Haubold: On Fractional Kinetic Equations. In: Astrophysics & Space Science 282/2002, S. 281–287 (ISSN 0004-640X), (pdf-Version)
  • Eric W. Weisstein: Mittag-Leffler Function. In: MathWorld (englisch).