Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.
Sei
ein Maßraum. Für jede Folge
nichtnegativer, messbarer Funktionen
gilt
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6114cda3f4aca04b08aeefdef56045ce6b3039)
wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge
punktweise zu verstehen ist.
Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion
mit
gibt:
.
Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu \leq \int _{S}g\ \mathrm {d} \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0e8b67315929c39a3da60b2f6740816c3a0b55)
Beweisidee
Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die monoton wachsende Funktionenfolge
![{\displaystyle g_{n}:=\inf _{k\geq n}f_{k}\nearrow \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67628890ff9137143cf4e5de68d7d66276cfa912)
den Satz von der monotonen Konvergenz an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung
![{\displaystyle \int _{S}\left(\inf _{k\geq n}f_{k}\right)\leq \int _{S}f_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7256216d30f20165f6c1f209279e4df7b1e5e767)
erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:
.
Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist
mit
integrierbar, also ist
integrierbar.
Beispiele für strikte Ungleichung
Der Grundraum
sei jeweils versehen mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.
- Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei
das Einheitsintervall. Definiere
für alle
und
, wobei
die Indikatorfunktion des Intervalls
bezeichne. - Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei
die Menge der reellen Zahlen. Definiere
für alle
und
. (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)
Jedes
hat Integral eins,
![{\displaystyle \int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49869f4aacc7f59c55603bef613ddd2dc26d2832)
deshalb gilt
![{\displaystyle 1=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bbbbc8c5647f97492f973d3695139ebb866c6a)
Die Folge
konvergiert auf
punktweise gegen die Nullfunktion
![{\displaystyle 0=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13651f40b25f3e8c45ba8302786110939145bddf)
daher ist das Integral ebenfalls Null
![{\displaystyle 0=\int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu =\int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f136ca6d2b55711a8e7cade96a465bc5531fb1)
daher gelten hier die strikten Ungleichungen
![{\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu <\liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1eb4522a534cf4ba14ccd4e57e00a27745ee53)
![{\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ \mathrm {d} \mu <\limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{S}f_{n}\ \mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6ca79f0d5ed47b512e0c024be3155737639040)
Diskussion der Voraussetzungen
Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei
das halboffene Intervall
mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle
definiere
. Die Folge
konvergiert auf
(sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes
hat aber Integral −1. Daher ist
.
Siehe auch
Literatur
- Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis. (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2. Auflage. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
- Walter Rudin: Analysis. Deutsche Ausgabe neu bearbeitet von Norbert Herrmann. 2., korrigierte Auflage. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-25810-9, S. 376: Kapitel 11, Satz 11.31.