Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Benannt wurde sie nach Marie Ennemond Camille Jordan, der sie 1870 für endliche Körper und 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme für komplexe Matrizen herleitete, die aber auch schon 1868 Karl Weierstraß in seiner Behandlung bilinearer Formen im Komplexen bekannt war[1]. Die jordansche Normalform ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix ähnlichen Matrizen. Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass das charakteristische Polynom der Matrix vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Matrizen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind immer trigonalisierbar und daher immer ähnlich einer jordanschen Normalform.
Für jede lineare Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums, deren charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, kann eine Vektorraumbasis gewählt werden, so dass die Abbildungsmatrix, die die Abbildung bezüglich dieser Basis beschreibt, jordansche Normalform hat. Dies gilt insbesondere für jede nilpotente Matrix.
Für jede beliebige, auch nicht trigonalisierbare Matrix liefert die rationale Normalform oder Frobenius-Normalform einen standardisierten Repräsentanten der Ähnlichkeitsklasse dieser Matrix.
Definition
Die jordansche Normalform zu einer quadratischen
-Matrix
über den komplexen Zahlen
ist eine Matrix
in der folgenden Blockdiagonalform:
![{\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=Q^{-1}AQ.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e179a9e321bcf08cfe9d6e7b8781cb974826a2b)
Die Matrix
ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren, aus denen sie spaltenweise besteht.
bezeichnet dabei die inverse Matrix von
. Die Darstellung von
als
![{\displaystyle A=QJQ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af80e241011d3e70e0bb8f3e5be64755b440c6e)
wird als Jordanzerlegung (engl. jordan decomposition) von
bezeichnet. Die Matrizen
heißen Jordanblöcke oder Jordankästchen; sie sind Bidiagonalmatrizen der folgenden Form:
![{\displaystyle J_{j}={\begin{pmatrix}\lambda _{j}&1&&&0\\&\lambda _{j}&1&&\\&&\ddots {}&\ddots {}\\&&&\lambda _{j}&1\\0&&&&\lambda _{j}\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{s_{j}\times s_{j}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5efbd446fb3d3e88e44e25eaf6d13cb59f1aecf)
Die
sind dabei die Eigenwerte von
. Zu jedem Eigenwert
gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordanblöcke. Die geometrische Vielfachheit ist dabei die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert
. Die Gesamtdimension aller Jordanblöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d. h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.
In einem Jordanblock sind die sogenannten Jordanketten „gespeichert“ (siehe Hauptvektor). Bestehe
z. B. nur aus einem Jordanblock mit Eigenwert
und bezeichne
einen Hauptvektor
-ter Stufe, das heißt,
ist ein Eigenvektor zum Eigenwert
und es gilt
und
für
, dann gelten
und
für
, das heißt, die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis
ist tatsächlich ein Jordanblock.
Es existiert noch die alternative Darstellung der Jordanblöcke mit 1 in der unteren Nebendiagonalen.
Im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix ist die jordansche Normalform eine Diagonalmatrix.
Seien
Hauptvektoren der jeweils
-ten Stufe, wobei
die Dimension des
-ten Jordanblocks sei,
. Dann ist
, definiert durch
,
eine Transformationsmatrix, die mittels
die Jordan-Normalform
von
herstellt.
In Worten: Die Spalten von
sind die Eigenvektoren mit den dazugehörigen Hauptvektoren in der Reihenfolge der dazugehörigen Jordanblöcke. Allerdings ist
nicht eindeutig bestimmt.
Für die jordansche Normalform eines Endomorphismus
eines
-dimensionalen
-Vektorraums
wählt man eine Basis
des Vektorraums
und berechnet die jordansche Normalform der Abbildungsmatrix
von
bezüglich der Basis
.
Im Folgenden wird daher
gesetzt und die komplexe jordansche Normalform einer quadratischen Matrix
bestimmt. Die Einheitsmatrix wird mit
bezeichnet.
Bestimmung der Eigenwerte
Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms
![{\displaystyle \chi _{A}=\det \left(\lambda E_{n}-A\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4e42b7cb5da8591c066d73f2e9cb7c666e4014)
errechnet man aus seinen Nullstellen die paarweise verschiedenen Eigenwerte
![{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\in \mathbb {C} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096253b38137a30988f103007cbef6061676468b)
Die Eigenwerte werden hier also nicht ihrer Vielfachheit entsprechend aufgeführt.
Bestimmung der Größe der Jordanblöcke
Hierfür müssen zunächst die Dimensionen der verallgemeinerten Eigenräume bestimmt werden. Das heißt, man berechnet für alle
die Zahlen
![{\displaystyle a_{j,s}:=\dim \operatorname {Kern} (A-\lambda _{j}E_{n})^{s},\quad s\in \mathbb {N} _{0}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b6e0f5b38969cc483ea56f4034ab88cd569fb7)
Insbesondere ist stets
und
ist gerade die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts
. Die Dimension des Kerns kann mit Hilfe des Dimensionssatzes aus dem Rang berechnet werden, der beispielsweise mit dem gaußschen Algorithmus bestimmt werden kann.
Die Folge der
ist monoton wachsend und wird ab einem bestimmten Wert für
stationär, spätestens bei der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes im charakteristischen Polynom. Die Anzahl der Jordanblöcke der Größe
zum Eigenwert
lässt sich dann mit Hilfe der Formel
![{\displaystyle (a_{j,s}-a_{j,s-1})-(a_{j,s+1}-a_{j,s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd7ef870e73de71aec9af23b3ed29defc68b96b)
berechnen. Außerdem gibt
die Gesamtzahl der zu diesem Eigenwert gehörigen Jordanblöcke an.
Die erhaltenen Jordanblöcke schreibt man in eine Matrix und erhält die komplexe jordansche Normalform einer Matrix. Haben alle Blöcke die Größe 1, liegt der Spezialfall einer Diagonalmatrix vor, und
ist somit diagonalisierbar.
Das Minimalpolynom
von
erhält man aus
, worin
die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert
bezeichnet.
Die jordansche Normalform ist bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig bestimmt. Sofern alle Eigenwerte in
liegen, sind zwei Matrizen, welche dieselbe jordansche Normalform haben, zueinander ähnlich.
Beispiel
Man betrachte die Matrix
, die definiert sei als
![{\displaystyle A:=\left({\begin{array}{r}25&-16&30&-44&-12\\13&-7&18&-26&-6\\-18&12&-21&36&12\\-9&6&-12&21&6\\11&-8&15&-22&-3\end{array}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e7f780dbb36c26f117e22b04bec166e3c9f66d)
Ihr charakteristisches Polynom lautet
. Somit besitzt diese Matrix genau einen Eigenwert, nämlich 3. Mit der Abkürzung
werden nun die
bestimmt:
Es gilt
. Somit ist
.
Weiterhin ist
die Nullmatrix, also gilt
und somit
und die Folge
wird ab dieser Stelle stationär.
Damit folgt: Es gibt
Jordanblöcke, davon
Jordanblock der Größe 1 und
Jordanblöcke der Größe 2.
Somit ist
die jordansche Normalform von
. Das Minimalpolynom von
ist
.
Nun soll eine Basistransformationsmatrix
bestimmt werden, die
![{\displaystyle J=P^{-1}AP}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa32d07174f7b7fcaaf2749e6fe458bdaaf8d991)
erfüllt. Sie ist durch diese Gleichung bekanntlich nicht eindeutig bestimmt. Das Standard-Verfahren verwendet die vorherige Kenntnis der komplexen jordanschen Normalform
.
Ein Standard-Verfahren
Ein gängiges Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende: Man bestimme (wie auch bei obigem naiven Ansatz) zunächst die Jordannormalform
. Dann hat man insbesondere schon alle Eigenwerte
berechnet sowie die Kerne
für alle
, worin
die Dimension des größten Jordanblocks zum Eigenwert
bezeichnet. Anschließend arbeite man zur Bestimmung einer regulären Matrix
mit
die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben Eigenwert stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht.
Zu jedem Block der Größe
und Eigenwert
werden
Spalten der Basistransformationsmatrix
nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in
die Spalten
belegt, so werden die Vektoren
in
ebenso (von links nach rechts) in die Spalten
eingefügt. Die Vektoren
werden nun wie folgt bestimmt:
- Man wähle
beliebig, worin
die Menge der zuvor berechneten Spalten (d. h. Basisvektoren) der Stufe
aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert
(sofern vorhanden) bezeichnet. Insbesondere an dieser relativ freien Wahl erkennt man, dass die Basistransformation nicht eindeutig sein kann. Wenn
, ist
einfach ein Eigenvektor zum Eigenwert
. - Nach der Wahl obigen Vektors besteht nun für die weiteren Basisvektoren keine Wahlfreiheit mehr: Man muss sukzessiv
für alle
setzen.
Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, wurden am Ende alle Spalten von
aufgefüllt. Es gilt: Die Matrix
ist regulär und erfüllt
, und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich deren
die Darstellung
besitzt.
Wird die alternative Darstellung der Jordanblöcke gewählt, d. h. mit 1 in der unteren Nebendiagonalen, muss lediglich die Reihenfolge der Basisvektoren pro Jordanblock umgekehrt werden.
Beispiel
Als erläuterndes Beispiel betrachte man hierzu die Matrix
![{\displaystyle A:={\begin{pmatrix}25&-16&30&-44&-12\\13&-7&18&-26&-6\\-18&12&-21&36&12\\-9&6&-12&21&6\\11&-8&15&-22&-3\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204f7184cc090731a39bd75ef98c037fb75d2af2)
wie oben. Es gilt
und
.
Ihre Jordannormalform lautet
.
Man beginne mit dem ersten Jordanblock der Dimension 2. Dazu wähle man
![{\displaystyle v^{2}\in \operatorname {Kern} (A-3I)^{2}\setminus \operatorname {Kern} (A-3I)^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc66016ee181c246f22eeb26158c14555127272f)
beliebig, beispielsweise
. Dann ist
zu wählen. Daraus erhält man
. Nun gehe man zum zweiten Jordanblock der Größe 2 über. Man wähle nun
![{\displaystyle w^{2}\in \operatorname {Kern} (A-3I)^{2}\setminus \operatorname {Span} (\operatorname {Kern} (A-3I)^{1}\cup \{v^{2}\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f7ed7a5208c4f2c5590103ea9d48ea13dc746c)
beliebig, beispielsweise
. Dann ist
, und man landet bei
. Schließlich ist der letzte Jordanblock (der Größe 1) an der Reihe. Man wähle hierzu
![{\displaystyle x^{1}\in \operatorname {Kern} (A-3I)^{1}\setminus \operatorname {Span} (\{v^{1},w^{1}\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfaf26466e3ba6d8b8ebf7cafb8dc205d3e84a4)
beliebig, beispielsweise
. Dann ist
eine reguläre Matrix mit
.
Eine nilpotente Matrix hat ausschließlich den Eigenwert null, weswegen die Hauptdiagonale ihrer jordanschen Normalform aus Nullen besteht. Sei
der Jordanblock der Größe
zum Eigenwert null. Dann ist jede nilpotente n×n-Matrix ähnlich zu einer eindeutig bestimmten Blockdiagonalmatrix[2]
![{\displaystyle J={\begin{pmatrix}N_{p_{1}}\\&N_{p_{2}}\\&&\ddots \\&&&N_{p_{k}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b21672d96624c944dab6c6019886c09537557d2)
mit
und ![{\displaystyle p_{1}\geq p_{2}\geq \dots \geq p_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4ebff3e754cd894d7b4442f898838c63970022)
Die Partitionsfunktion
gibt die Anzahl der Äquivalenzklassen für nilpotente n×n-Matrizen an.
Mit jeder Potenz von
entfernen sich die Einsen um einen Schritt von der Hauptdiagonalen. In
ist der Abstand per definitionem eins, in
zwei, in
ist der Abstand
. Das heißt,
ist nilpotent mit einem Nilpotenzgrad kleiner oder gleich
.
Sei
die Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonale dieselbe ist wie die der jordanschen Normalform
einer trigonalisierbaren Matrix, und
sei die Matrix, die aus
entsteht, indem die Hauptdiagonale mit Nullen belegt wird. Dann liegt die Summenzerlegung
mit ![{\displaystyle DN=ND}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511903639e68154805ba6caf8c5ae6b768663a21)
vor. Somit lässt sich jede trigonalisierbare Matrix in eine diagonalisierbare und eine nilpotente Matrix additiv zerlegen. Siehe auch Schursche Normalform und Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus.
Betrachtet man reelle Matrizen, so zerfällt deren charakteristisches Polynom im Allgemeinen nicht mehr vollständig in Linearfaktoren, sondern nur noch in irreduzible Faktoren, die in diesem Fall stets lineare oder quadratische Faktoren sind. Es stellt sich nun die Frage nach einer Normalform, wenn man ausschließlich reelle Basistransformationen zulässt.
Zu einem quadratischen irreduziblen Faktor
mit
definiert man als Jordanblock
![{\displaystyle J_{j}={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}&1&0&&&&0\\-b_{j}&a_{j}&0&1&&&&\\&&a_{j}&b_{j}&1&0&&\\&&-b_{j}&a_{j}&0&1&&\\&&&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&1&0\\&&&&\ddots {}&\ddots {}&0&1\\&&&&&\ddots {}&a_{j}&b_{j}\\0&&&&&&-b_{j}&a_{j}\\\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff309c0f7ebf15aea710bb583a87ef1ca3cb88c)
Wir nennen die Anzahl der Zeilen (bzw. Spalten) die Größe dieses Blocks. Dann bezeichnet man
![{\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots {}&\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=P^{-1}AP}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a474d5287b83d83130339b0b2aa93c30664324)
als reelle jordansche Normalform. Um sie und eine geeignete reelle Matrix
zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:
- Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren. Es ergibt sich
,
- wobei
paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit
bezeichnen. Weiter seien darin
,
,
und
paarweise verschieden.
- Für jedes
bestimme man
für
, - worin
die kleinste natürliche Zahl
ist mit
. Analog bestimme man für jedes ![{\displaystyle j\in \{1,\ldots ,l\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd34301602e8d9738313121ece965d6ddab2291)
für
, - worin
die kleinste natürliche Zahl
ist mit
. - Zudem setzen wir
.
- Nun stelle man die jordansche Normalform auf. Es gilt hierbei
ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert
, deren Größe größer oder gleich
ist.
ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Faktor
, deren Größe größer oder gleich
ist.
- Außerdem ist
die Summe der Jordanblockgrößen zum Eigenwert
und
die Summe der Jordanblockgrößen zum Faktor
. Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform
bestimmen.
- Danach bestimme man die Basistransformationsmatrix
, das heißt, man sucht eine reelle invertierbare Matrix
, so dass
.
Ein Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende:
- Man arbeite die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben irreduziblen Faktor stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht. Zu jedem Block der Größe
werden
Spalten der Basistransformationsmatrix
nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in
die Spalten
belegt, so werden die Vektoren
in
ebenso (von links nach rechts) in die Spalten
eingefügt. Die Vektoren
werden nun wie folgt bestimmt: - Zu einem Jordanblock der Größe
zum Eigenwert
wähle man
beliebig, worin
die Menge der zuvor berechneten Spalten (das heißt Basisvektoren) der Stufe
aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert
(sofern vorhanden) bezeichnet. Anschließend setze man sukzessiv
für alle
. - Zu einem Jordanblock der Größe
zum irreduziblen Faktor
wähle man einen Vektor
, wobei
aus den bereits berechneten Hauptvektoren der Stufen
zum selben irreduziblen Faktor
besteht.
- Dann setze man für
sukzessiv ![{\displaystyle v^{t-1}:={\begin{cases}{\frac {1}{b_{j}}}(A-a_{j}E)v^{t},&{\text{falls }}t{\text{ gerade,}}\\(A-a_{j}E)v^{t}+b_{j}v^{t+1},&{\text{falls }}t{\text{ ungerade.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149f65e35af62f28c1251ba7be2f69ff8cb4744d)
- Schließlich setzt man
wie gehabt aus den Vektoren
zusammen.
- Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, werden am Ende alle Spalten von
aufgefüllt. Es gilt: Die Matrix
ist regulär und erfüllt
, und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich deren
die Darstellung
besitzt.
Beispiel
Man betrachte die Matrix
, die wie folgt definiert ist
![{\displaystyle B:={\begin{pmatrix}6&-2&6&1&1\\1&-1&2&1&-2\\-2&0&-1&0&-1\\-1&0&-2&2&-1\\-4&4&-6&-2&3\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b59011cf7ae9eebf50ec596fb7cae8e8fcd275f)
Ihr charakteristisches Polynom lautet
, wobei
irreduzibel über
ist. Nun berechnen wir die jordansche Normalform:
.
Dieser Kern hat die Dimension 1. Also gibt es nur einen Jordanblock der Größe mindestens 1. Andererseits muss die Summe der Jordanblockgrößen 1 sein (die Potenz von
), so dass es genau einen Jordanblock zum Eigenwert 1 gibt, und er hat die Größe 1. Weiter hat
![{\displaystyle \operatorname {Kern} _{\mathbb {R} }\left(\left(B-2E\right)^{2}+1^{2}E\right)=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\left(\left\{{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\-1\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\\-1\\\end{pmatrix}}\right\}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfae99dfc40ae2f3ba3f5730c317d66a56515af9)
die Dimension 2, so dass es demzufolge nur
Jordanblock der Größe mindestens 2 gibt. Da die Summe der Jordanblockgrößen 4 sein muss (das Doppelte der Potenz von
), ergibt sich, dass dieser eine Jordanblock die Größe 4 besitzt. Außerdem errechnen wir
.
Somit ist
die reelle jordansche Normalform von
.
Zum Vergleich lautet die komplexe jordansche Normalform
.
Zum Berechnen einer Basistransformationsmatrix beginne man mit dem ersten reellen Eigenwert und dann mit dem (ersten) Jordanblock der Dimension 1. Man wähle
![{\displaystyle u^{1}\in \operatorname {Kern} _{\mathbb {R} }(B-1E)^{1}\setminus \operatorname {Kern} _{\mathbb {R} }(B-1E)^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bae320c01b9bf60d0fa0527e9cfa7255b231cff)
beliebig, also beispielsweise
. Daraus erhält man
.
Nun gehe man zum ersten irreduziblen Faktor (komplexen Eigenwert) und dann zum Jordanblock der Größe 4 über. Dazu wähle man
![{\displaystyle v^{4}\in \operatorname {Kern} _{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)^{2}\setminus \operatorname {Kern} _{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2817a72d344cf0e1bb99bc3b03a87886446ba71a)
beliebig, beispielsweise
. Dann ist
,
und
zu wählen. Daraus erhält man:
.
ist eine reguläre Matrix mit
.
Die jordansche Normalform kann noch weiter verallgemeinert werden auf allgemeine Körper. In diesem Zusammenhang wird sie häufig auch als Weierstraß-Normalform (bzw. Frobenius-Normalform) bezeichnet. Dies erlaubt eine eindeutige Matrixdarstellung von Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorräumen, bei der sich alle ähnlichen Endomorphismen durch eine eindeutige Matrix darstellen lassen. So können ähnliche lineare Abbildungen identifiziert werden. Das Lemma von Frobenius charakterisiert zueinander ähnliche Matrizen durch die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen und liefert die Frobenius-Normalform als Normalform des Vektorraums unter der Operation eines Polynomrings.
Durch die Darstellung in der Weierstraß-Normalform ist der Aufbau des Minimalpolynoms sofort erkennbar und das charakteristische Polynom leicht zu berechnen.
Matrixfunktion
Ein Weg, um aus einer skalaren Funktion
eine Matrixfunktion
zu bilden, ist über die Jordan-Normalform der Matrix. Es gilt
![{\displaystyle f(A)=Qf(J)Q^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7accd0474c6de16ffac87afef3c9c673a29fe192)
Anwendung bei linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Gegeben sei ein lineares Differentialgleichungssystem (von
Gleichungen) erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten
![{\displaystyle y'=A\cdot y+g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb8f4b162352fcab1d41c2da8cf1eef2dc7cf87)
durch eine Matrix
und eine stetige Funktion
. Es ist bekannt, dass die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems
![{\displaystyle y(x_{0})=y_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24092a7258e16d3c6fa9c4ceee358a0707df443)
gegeben ist durch
,
worin
für ![{\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe18ff28c8667064f4367d80f59ca405557e4835)
die Matrixexponentialfunktion bezeichnet. Man beachte:
- Die Matrixexponentialfunktion von einem komplexen Jordanblock kann explizit ausgerechnet werden:
.
- Die Matrixexponentialfunktion von einer komplexen Jordannormalform
kann explizit berechnet werden mittels:
.
- Die Matrixexponentialfunktion einer Matrix
, deren komplexe Jordannormalform
zusammen mit einer Basistransformationsmatrix
bekannt ist, das heißt
, kann explizit berechnet werden mittels:
.
Mit anderen Worten: Kennt man eine Darstellung
mit der komplexen jordanschen Normalform
, so kann man
für jedes
explizit ausrechnen, so dass zum Bestimmen von
![{\displaystyle y(x)=e^{(x-x_{0})A}\cdot y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}e^{(x-t)A}g(t){\rm {d}}t\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5513b6b6b810694f62c1dc8e1d327a21fcb90b2b)
nur noch das Integrationsproblem zu lösen ist, welches im homogenen Fall
völlig entfällt.
Siehe auch
- Diagonalisierung ist ein Spezialfall der jordanschen Normalform.
- Die jordansche Normalform ist ein Spezialfall der Weierstraß-Normalform.
- Die Existenz der jordanschen Normalform liefert die Existenz der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus.
- Da für die Existenz einer jordanschen Normalform die Existenz von Nullstellen des charakteristischen Polynoms ausschlaggebend ist, kann die reelle Normalform wie hier beschrieben allgemeiner für affine Selbstabbildungen des zweidimensionalen affinen Raumes über einem euklidischen und eines affinen Raumes mit beliebiger, endlicher Dimension über einem reell abgeschlossenen Körper bestimmt werden.
Weblinks
Wikiversity: Vorlesung zu jordanscher Normalform – Kursmaterialien
- Daniel Winkler: Kochen mit Jordan. (PDF-Datei; 264 kB)
- Jordan matrix. In: Encyclopaedia of Mathematics. (englisch)
- Jordan canonical form theorem. In: PlanetMath. (englisch)
- The Real Jordan Form. In: Number Theory Web. (englisch; PDF-Datei; 110 kB)
- Das Gelbe Rechenbuch / Zusätze: Jordanform von Matrizen (PDF-Datei; 81 kB)
Einzelnachweise
- ↑ Wilhelm von Alten u. a., 4000 Jahre Algebra, Springer 2008, S. 409
- ↑ E. Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band II. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-08562-2, S. 20.
Literatur
- Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0.
- Gilbert Strang: Lineare Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-43949-8. (Literatur zu Eigenwerten und Eigenvektoren sowie Matrizen-Rechnung).