Jacobi-Symbol

Das Jacobi-Symbol, benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi, ist eine Verallgemeinerung des Legendre-Symbols. Das Jacobi-Symbol kann wiederum zum Kronecker-Symbol verallgemeinert werden. Die Notation ist die gleiche wie die des Legendre-Symbols:

( a n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)} oder auch ( a / n ) {\displaystyle (a/n)}

Um zwischen dem Legendre-Symbol und dem Jacobi-Symbol zu unterscheiden, schreibt man auch L ( a , p ) {\displaystyle L(a,p)} und J ( a , n ) {\displaystyle J(a,n)} .

Dabei muss n {\displaystyle n} im Gegensatz zum Legendre-Symbol keine Primzahl sein, allerdings muss es eine ungerade natürliche Zahl sein. Für a {\displaystyle a} sind beim Jacobi-Symbol wie beim Legendre-Symbol alle ganzen Zahlen zugelassen.

n ist eine Primzahl

Falls n {\displaystyle n} eine Primzahl ist, ist das Jacobi-Symbol nach Definition gleich dem Legendre-Symbol:

( a n ) = { 1 wenn  a  ein quadratischer Rest modulo  n  ist − 1 wenn  a  ein quadratischer Nichtrest modulo  n  ist 0 wenn  n  ein Teiler von  a  ist (also  a  kongruent  0  modulo  n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)={\begin{cases}1&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ ein quadratischer Rest modulo }}n{\mbox{ ist}}\\-1&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ ein quadratischer Nichtrest modulo }}n{\mbox{ ist}}\\0&{\mbox{wenn }}n{\mbox{ ein Teiler von }}a{\mbox{ ist (also }}a{\mbox{ kongruent }}0{\mbox{ modulo }}n{\mbox{)}}\end{cases}}}

n ist keine Primzahl

Ist die Primfaktorzerlegung von n = p 1 ν 1 ⋅ p 2 ν 2 ⋯ p k ν k {\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\cdot p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}} , so definiert man

( a n ) = ( a p 1 ) ν 1 ⋯ ( a p k ) ν k . {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\nu _{1}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\nu _{k}}.}

Für n = 1 {\displaystyle n=1} wird üblicherweise ( a 1 ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1} gesetzt (leeres Produkt).

Beispiel:

( 11 91 ) = ( 11 7 ) ⋅ ( 11 13 ) = ( 4 7 ) ⋅ ( 11 13 ) = 1 ⋅ ( − 1 ) = − 1 {\displaystyle \left({\frac {11}{91}}\right)=\left({\frac {11}{7}}\right)\cdot \left({\frac {11}{13}}\right)=\left({\frac {4}{7}}\right)\cdot \left({\frac {11}{13}}\right)=1\cdot (-1)=-1}

Achtung: Falls n {\displaystyle n} keine Primzahl ist, gibt das Jacobi-Symbol nicht an, ob a {\displaystyle a} ein quadratischer Rest modulo n {\displaystyle n} ist (wie beim Legendre-Symbol). Eine notwendige Bedingung dafür, dass a {\displaystyle a} ein quadratischer Rest modulo n {\displaystyle n} ist, ist allerdings, dass das Jacobi-Symbol ungleich − 1 {\displaystyle -1} ist. Beispielsweise erhält man für vier verschiedene Reste a modulo 15 für

( a 15 ) {\displaystyle \left({\frac {a}{15}}\right)}

den Wert 1, jedoch sind nur zwei davon Quadrate modulo 15 (man erhält für 1, 2, 4, 8 den Wert 1, Quadrate sind nur 1 und 4). Den Wert 0 erhält man siebenmal (0, 3, 5, 6, 9, 10, 12), davon sind aber auch nur vier Quadrate (0, 6, 9, 10). Übrig bleiben die vier Werte, für die man -1 erhält (7, 11, 13, 14), hier erhält man, wie bereits angesprochen, niemals ein Quadrat.

Allgemeine Definition

Allgemein ist das Jacobi-Symbol J ( a , n ) {\displaystyle J(a,n)} über einen Charakter χ n {\displaystyle \chi _{n}} der Gruppe Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } definiert:

( a n ) := { χ n ( a + n Z ) falls ggT ( a , n ) = 1 0 sonst {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right):={\begin{cases}\chi _{n}(a+n\mathbb {Z} )&{\mbox{falls ggT}}(a,n)=1\\0&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}

Dabei ist χ n ( a + n Z ) {\displaystyle \chi _{n}(a+n\mathbb {Z} )} die folgende Funktion:

χ n ( a + n Z ) := ∏ x ∈ H ε x ( a ) {\displaystyle \chi _{n}(a+n\mathbb {Z} ):=\prod _{x\in H}\varepsilon _{x}(a)}

H {\displaystyle H} ist dabei ein beliebiges Halbsystem modulo n {\displaystyle n} , da der Wert von χ n {\displaystyle \chi _{n}} nicht von der Wahl des Halbsystems abhängt. ε x ( a ) {\displaystyle \varepsilon _{x}(a)} bezeichnet den Korrekturfaktor von a {\displaystyle a} und x {\displaystyle x} bezüglich H {\displaystyle H} :

ε x ( a ) := { 1 falls  x  und  a ⋅ x  im gleichen Halbsystem liegen − 1 sonst {\displaystyle \varepsilon _{x}(a):={\begin{cases}1&{\mbox{falls }}x{\mbox{ und }}a\cdot x{\mbox{ im gleichen Halbsystem liegen}}\\-1&{\mbox{sonst}}\end{cases}}}

Eine alternative Definitionsmöglichkeit liefert das Lemma von Zolotareff, nach dem das Jacobi-Symbol gleich dem Vorzeichen einer speziellen Permutation ist.

Geschlossene Darstellung

Die folgende Formel ist eine geschlossene Darstellung des Werts des Jacobi-Symbols:

( a n ) = ∏ k = 1 1 2 ( n − 1 ) ∏ h = 1 1 2 ( a − 1 ) sgn ⁡ ( ( k n − h a ) ( k n + h a − 1 2 ) ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\prod _{k=1}^{{\frac {1}{2}}(n-1)}\prod _{h=1}^{{\frac {1}{2}}(a-1)}\operatorname {sgn} \left(\left({\frac {k}{n}}-{\frac {h}{a}}\right)\left({\frac {k}{n}}+{\frac {h}{a}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}

Zur effektiven Berechnung ist diese Formel jedoch wenig geeignet, da sie für größere a , n {\displaystyle a,n} schnell sehr viele Faktoren aufweist.

Effiziente Berechnung des Jacobi-Symbols

In den meisten Fällen, in denen man die Berechnung des Jacobi-Symbols benötigt, so beim Solovay-Strassen-Test, hat man keine Primfaktorzerlegung der Zahl n {\displaystyle n} in J ( a , n ) {\displaystyle J(a,n)} , sodass sich das Jacobi-Symbol nicht auf das Legendre-Symbol zurückführen lässt. Zudem ist die oben angegebene geschlossene Darstellung für größere a , n {\displaystyle a,n} nicht effizient genug.

Es gibt jedoch ein paar Rechenregeln, mit denen sich J ( a , n ) {\displaystyle J(a,n)} effizient bestimmen lässt. Diese Regeln ergeben sich unter anderem aus dem quadratischen Reziprozitätsgesetz, das auch für das Jacobi-Symbol seine Gültigkeit besitzt.

Das wichtigste Prinzip ist das folgende: Für alle ungeraden ganzen Zahlen m , n {\displaystyle m,n} größer 1 gilt:

( m n ) = ( − 1 ) ( m − 1 ) 2 ( n − 1 ) 2 ( n m ) {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{{\frac {(m-1)}{2}}{\frac {(n-1)}{2}}}\left({\frac {n}{m}}\right)}

Diese Regel ist das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Jacobi-Symbol. Mit ihrer Hilfe, sowie wenigen weiteren Rechenregeln, lässt sich J ( a , b ) {\displaystyle J(a,b)} für alle a , b {\displaystyle a,b} mit verhältnismäßig geringem Aufwand bestimmen, der vergleichbar mit dem des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers ist. Die Rechenregeln, die zusätzlich benötigt werden, sind die folgenden:

  • ( 2 n ) = ( − 1 ) n 2 − 1 8 = { 1 , n ≡ ± 1 ( mod 8 ) − 1 , n ≡ ± 3 ( mod 8 ) {\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1,&n\equiv \pm 1{\pmod {8}}\\-1,&n\equiv \pm 3{\pmod {8}}\end{cases}}}
  • ( − 1 n ) = ( − 1 ) n − 1 2 {\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}}
  • ( 1 n ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)=1}
  • ( a n ) = ( a m o d n n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a\;\mathrm {mod} \;n}{n}}\right)}

Die oben stehende Regel folgt aus der Definition des Jacobi-Symbol über den Charakter. Der Zähler des Jacobi-Symbols ist nur ein Repräsentant der Gruppe a + n Z {\displaystyle a+n\mathbb {Z} } ; daher spielt es keine Rolle, welchen Repräsentanten man wählt.

  • ( a b n ) = ( a n ) ⋅ ( b n ) {\displaystyle \left({\frac {ab}{n}}\right)=\left({\frac {a}{n}}\right)\cdot \left({\frac {b}{n}}\right)} (Multiplikativität im Zähler)
  • ( a m n ) = ( a m ) ⋅ ( a n ) {\displaystyle \left({\frac {a}{mn}}\right)=\left({\frac {a}{m}}\right)\cdot \left({\frac {a}{n}}\right)} (Multiplikativität im Nenner)

Als Beispiel soll J ( 127 , 703 ) {\displaystyle J(127,703)} bestimmt werden:

( 127 703 ) = ( − 1 ) 126 2 702 2 ( 703 127 ) = − ( 703 127 ) {\displaystyle \left({\frac {127}{703}}\right)=(-1)^{{\frac {126}{2}}{\frac {702}{2}}}\left({\frac {703}{127}}\right)=-\left({\frac {703}{127}}\right)}

Da man den Repräsentanten im Zähler frei wählen darf, ist dies gleich

− ( 68 127 ) = − ( 2 127 ) 2 ⋅ ( 17 127 ) {\displaystyle -\left({\frac {68}{127}}\right)=-\left({\frac {2}{127}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {17}{127}}\right)}

Da 2 zu 127 teilerfremd ist, ist J(2, 127) sicher nicht 0 und damit J(2, 127)2 = 1. Also fällt dieser Faktor weg und man erhält:

− ( 17 127 ) = − ( − 1 ) 126 2 16 2 ( 127 17 ) = − ( 127 17 ) = − ( 8 17 ) = − ( 2 17 ) 3 {\displaystyle -\left({\frac {17}{127}}\right)=-(-1)^{{\frac {126}{2}}{\frac {16}{2}}}\left({\frac {127}{17}}\right)=-\left({\frac {127}{17}}\right)=-\left({\frac {8}{17}}\right)=-\left({\frac {2}{17}}\right)^{3}}

Für die 2 im Zähler gibt es eine geschlossene Formel, daher erhält man schließlich:

( 127 703 ) = − ( ( − 1 ) 17 2 − 1 8 ) 3 = − 1 {\displaystyle \left({\frac {127}{703}}\right)=-\left((-1)^{\frac {17^{2}-1}{8}}\right)^{3}=-1}

Algorithmus – Berechnung des Jacobi-Symbols (a/b)

1 Eingabe x ← a , y ← b {\displaystyle x\gets a,\,y\gets b}
2 J ← 1 {\displaystyle J\gets 1}
3 if y = 1 {\displaystyle y=1} then x ← 1 {\displaystyle x\gets 1}
4 while x ≠ 1 {\displaystyle x\neq 1} and J ≠ 0 {\displaystyle J\neq 0} do
5 Berechne q ∈ Z , r ∈ N 0 ,  wobei  x = q ⋅ y + r  und  0 ≤ r < y {\displaystyle q\in \mathbb {Z} ,\,r\in \mathbb {N} _{0},{\text{ wobei }}x=q\cdot y+r{\text{ und }}0\leq r<y}
6 if r = 0 {\displaystyle r=0} then J ← 0 {\displaystyle J\gets 0}
7 else
8 Berechne k , x ′ ∈ N 0 ,  wobei  r = 2 k ⋅ x ′  und  x ′  ungerade {\displaystyle k,x'\in \mathbb {N} _{0},{\text{ wobei }}r=2^{k}\cdot x'{\text{ und }}x'{\text{ ungerade}}}
9 if k ≡ 1  mod  2 {\displaystyle k\equiv 1{\text{ mod }}2} and y ≡ ± 3  mod  8 {\displaystyle y\equiv \pm 3{\text{ mod }}8} then J ← − J {\displaystyle J\gets -J}
10 if x ′ = 1 {\displaystyle x'=1} then x ← 1 {\displaystyle x\gets 1}
11 else
12 if x ′ − 1 2 ⋅ y − 1 2 ≡ 1  mod  2 {\displaystyle {\frac {x'-1}{2}}\cdot {\frac {y-1}{2}}\equiv 1{\text{ mod }}2} then J ← − J {\displaystyle J\gets -J}
13 x ← y {\displaystyle x\gets y}
14 y ← x ′ {\displaystyle y\gets x'}
15 Ausgabe J {\displaystyle J}

Literatur

  • Armin Leutbecher, Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1996. ISBN 3-540-58791-8.