Ein (multivariables) Polynom heißt homogen, falls alle Monome, aus denen das Polynom besteht, den gleichen Grad haben. Homogene Polynome werden auch als Formen bezeichnet.
Definition
Sei
ein kommutativer Ring mit Eins und
der Polynomring über
in
Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom
, für das ein
mit
![{\displaystyle p=\alpha X_{1}^{i_{1}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{i_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e62b82a4d28f8cfb983b0a781830c269581406)
existiert. Der Grad dieses Monoms ist
![{\displaystyle \mathrm {deg} (p)=i_{1}+\dotsb +i_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0a57c2815fe86f0f3742a711647dca051bb46e)
Ein Polynom in
wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.
Eigenschaften
ist genau dann homogen vom Grad
, wenn in
gilt:[1] ![{\displaystyle f(TX_{1},\dotsc ,TX_{n})=T^{k}\cdot f(X_{1},\dotsc ,X_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a1a4cc24806cb73d94e580077ede5f209edc92)
- Seien
ein Integritätsring und
mit
. Dann gilt die Implikation
und
sind homogen
ist homogen.
- Fordert man zusätzlich
, ist sogar die Äquivalenz erfüllt:
und
sind homogen
ist homogen.
Beispiele
- Jedes Monom ist homogen.
- Die Menge aller homogenen Polynome in
, dem Polynomring in einer Variablen über
, ist gegeben durch ![{\displaystyle \{aX^{n}\;\mid \;a\in R,\;n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f4860a091396e4ab5078376c521bedd7c4a7dd)
- Einfache Beispiele für homogene Polynome in
(siehe ganze Zahlen):
ist homogen wegen ![{\displaystyle \deg(X^{4})=\deg(Y^{4})=4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590ee82f7d2d82b14715ad7fa4cc018e9809e7aa)
ist homogen wegen ![{\displaystyle \deg(X^{7})=\deg(X^{3}Y^{4})=\deg(XY^{6})=7.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8fa7479b72435d4d4b7e24b449f0abfc7c693a8)
- Beispiele für nicht-homogene Polynome in
(siehe rationale Zahlen):
ist nicht homogen wegen ![{\displaystyle \deg(X^{4}Z)=5\neq 3=\deg(YZ^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c51b0472f51988d43e9d82b4bb1e4de510f998)
ist nicht homogen wegen
und ![{\displaystyle \deg(Y^{5})=5.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5c3efa88169f4970fe0afad329979c562f87f8)
Graduierung
Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:
![{\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]=\bigoplus _{d\geq 0}A_{d},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b0fe2bdf1b4ee123b05b4288b14bbd4229ed25)
wobei
![{\displaystyle A_{d}=\bigoplus _{e_{1}+\dotsb +e_{n}=d,\ e_{i}\geq 0}R\cdot X_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{e_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34299b2bc194e51ba24db4b386a9a2d24a41b3a4)
die Menge der homogenen Polynome vom Grad
zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt
![{\displaystyle A_{d}\cdot A_{d'}\subseteq A_{d+d'},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0062964490a99d7ff85d4a56ecfd3ce2ae0a7a)
der Polynomring ist also ein graduierter Ring.
Verallgemeinerung
Allgemein heißen in einem graduierten Ring
![{\displaystyle \bigoplus _{d\geq 0}A_{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59b81f0284fbc5d028ce0671babd62c4b959ea3)
die Elemente aus
homogen vom Grad
.
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Lemma.
Literatur
- Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, S. 169.