Fredholmsche Alternative

In der Mathematik ist die nach Erik Ivar Fredholm benannte Fredholmsche Alternative ein Resultat der Fredholmtheorie. Sie kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden: als Theorem der linearen Algebra, als ein Theorem über Integralgleichungen oder als ein Theorem über Fredholm-Operatoren. Insbesondere besagt es, dass eine komplexe Zahl ungleich 0 im Spektrum eines kompakten Operators ein Eigenwert ist.

Version der linearen Algebra

In einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ gilt für eine lineare Abbildung ${\displaystyle A\colon V\to V}$ genau eine der folgenden Aussagen:

1. Zu jedem Vektor ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle V}$ gibt es einen Vektor ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle V}$ so, dass ${\displaystyle Au=v}$. Mit anderen Worten: ${\displaystyle A}$ ist surjektiv.
2. Es gibt ein ${\displaystyle u\neq 0}$ in ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle Au=0}$, das heißt: ${\displaystyle A}$ ist nicht injektiv.

Fredholmsche Integralgleichungen

Sei ${\displaystyle K(x,y)}$ ein Integralkern. Betrachte die homogene Fredholmsche Integralgleichung,

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=0}$,

sowie die inhomogene Gleichung

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x)}$.

Die Fredholmsche Alternative besagt nun, dass für eine komplexe Zahl ${\displaystyle 0\neq \lambda \in \mathbb {C} }$, entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Lösung hat, oder die zweite Gleichung eine Lösung für beliebige rechte Seiten ${\displaystyle f(x)}$ besitzt.

Eine hinreichende Bedingung, damit dieser Satz gilt, ist die Quadratintegrierbarkeit von ${\displaystyle K(x,y)}$ auf dem Rechteck ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$ (wobei a und/oder b auch plus oder minus unendlich sein dürfen).

Fredholmsche Alternative

Aussage

Sei ${\displaystyle K\in K(X)}$ ein kompakter Operator auf ${\displaystyle X}$ und sei ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \lambda \neq 0}$. Dann ist ${\displaystyle Tx:=\lambda x-Kx}$ ein Fredholm-Operator mit Fredholm-Index 0. Die Fredholmsche Alternative lautet nun:

• Entweder haben sowohl die homogene Gleichung

${\displaystyle \lambda x-Kx=0}$

als auch die adjungierte Gleichung

${\displaystyle \lambda x'-K'x'=0}$

nur die triviale Lösung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungen

${\displaystyle \lambda x-Kx=y}$

und

${\displaystyle \lambda x'-K'x'=y'}$

eindeutig lösbar,

• oder die homogene Gleichung

${\displaystyle \lambda x-Kx=0}$

und die adjungierte Gleichung

${\displaystyle \lambda x'-K'x'=0}$

besitzen genau ${\displaystyle n=\dim \ker(\lambda \operatorname {id} -K)<\infty }$ linear unabhängige Lösungen (wobei ${\displaystyle \operatorname {id} }$ die identische Abbildung bezeichnet) und somit wäre die inhomogene Gleichung

${\displaystyle \lambda x-Kx=y}$

genau dann lösbar, wenn ${\displaystyle y\in (\ker(\lambda \operatorname {id} -K'))^{\bot }}$ gilt.

Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen

Beachte, dass die Delta-Distribution die Identität der Faltung ist. Sei ${\displaystyle X}$ ein Banachraum, beispielsweise ${\displaystyle X=L^{2}([a,b])}$ und sei ${\displaystyle T\colon X\to X}$ ein Fredholm-Operator, welcher durch

${\displaystyle T\phi (x)=\int _{a}^{b}\lambda \delta (x-y)\phi (y)-k(x,y)\phi (y)dy=\lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}k(x,y)\phi (y)dy,}$

definiert ist, wobei ${\displaystyle k\in L^{2}([a,b])}$ gelten muss, um einen Fredholm-Operator zu erhalten. Dann ist ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}k(x,y)\phi (y)dy}$ ein kompakter Operator und man sieht, dass diese Aussage die Aussage über die Fredholmschen Integralgleichungen verallgemeinert.

Die Fredholmsche Alternative kann man dann wie folgt formulieren: Ein ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ist entweder ein Eigenwert von ${\displaystyle K}$ oder es liegt in der Resolventenmenge

${\displaystyle \rho (K)=\{\lambda \in \mathbb {C} :(\lambda \operatorname {id} -K){\text{ beschränkt invertierbar}}\}}$.

Literatur

• Paul Mönnig: Die praktische Auflösung der fredholm’schen Integralgleichung mit symmetrischem Produktkern, Braunschweig 1947. Reihe: Veröffentlichungen d. Math. Inst. d. Techn. Hochsch. Braunschweg, 1947,4 (nicht in DNB nachgewiesen)
• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6.