Elliptische Koordinaten sind orthogonale Koordinaten, in denen ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt wird, siehe Bild.[1]
Elliptische Koordinaten erlauben immer eine Trennung der Veränderlichen in der Laplace- und Helmholtz-Gleichung,[2]:8 was deren Lösung stark vereinfacht. Elliptische Koordinaten bieten sich zur Lösung von Randwertaufgaben dort an, wo die Ränder des Gebiets ellipsen- oder hyperbelförmig sind.
Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H2+-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung separiert und für spezielle Formen der potentiellen Energie auch gelöst werden.[3]:512f[4]
Inhaltsverzeichnis
1Elliptische Koordinaten in der Ebene
1.1Koordinatenlinien
1.2Metrische Faktoren, Weg- und Flächenelemente in der Ebene
1.3Operatoren in der Ebene
1.4Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in der Ebene
2Elliptische Zylinderkoordinaten
2.1Metrische Faktoren, Weg- und Flächenelemente in elliptischen Zylinderkoordinaten
2.2Operatoren in elliptischen Zylinderkoordinaten
2.3Lösung der Laplace- und Helmholtz-Gleichung in elliptischen Zylinderkoordinaten
3Weitere Verallgemeinerungen auf drei Dimensionen
4Literatur
5Weblinks
6Einzelnachweise
Elliptische Koordinaten in der Ebene
Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen und auf der -Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten [2]:17 hat dann die kartesischen Koordinaten
Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf mit imaginärer Einheit i2=-1, so gilt
Der Kosinus hyperbolicus ist eine Holomorphe Funktion, was die Orthogonalität der elliptischen Koordinaten in der Ebene begründet.
Koordinatenlinien
Die Kurven in der xy-Ebene, auf denen u konstant ist (was die Niveaulinien von u in der xy-Ebene sind,) bilden die Ellipsen[2]:17
Die Niveaulinien von ψ sind die konfokalen Hyperbeln
die nur in Vielfachen von π⁄2 bzw. 90°, wie in Polarkoordinaten radiale Geraden sind: Für ist die ψ-Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für ist die -Koordinatenlinie zur Halbgeraden auf der -Achse entartet, für zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen -Achse. Für und ist die -Koordinatenlinie die positive bzw. die negative -Achse.
Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität. Die Ellipsen, auf denen konstant ist, haben die große Halbachse , die kleine Halbachse und numerische Exzentrizität. Die Hyperbeln, auf denen konstant ist, haben die waagerechte Halbachse , die senkrechte Halbachse und numerische Exzentrizität .
Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur möglich, weil Kosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus und Sinus die Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse () bei Ellipsen bzw. reeller und imaginärer Halbachse bei Hyperbeln () trivial erfüllen.
Metrische Faktoren, Weg- und Flächenelemente in der Ebene
Die Konstanten A, B, C, D und κ dienen der Anpassung an Randbedingungen. Wenn die Separationskonstante κ2 mit negativem Vorzeichen angesetzt wird, vertauschen sich in der Lösungsfunktion die Winkelfunktionen durch die Hyperbelfunktionen und umgekehrt.
Elliptische Zylinderkoordinaten
Die elliptischen Zylinderkoordinaten entstehen aus den ebenen elliptischen Koordinaten des vorangegangenen Abschnitts durch Extrusion senkrecht zur xy-Ebene in z-Richtung, sodass viele Eigenschaften von dort hierher übertragen werden können.
Die elliptischen Zylinderkoordinaten und die kartesischen hängen wie folgt zusammen:[2]:17
die, wie in der Ebene, senkrecht zueinander sind, und in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die metrischen Faktoren lauten wie in der xy-Ebene:[2]:18
Mit obigem Laplace-Operator entsteht die Helmholtz-Gleichung:
Division durch liefert
Weil auf der rechten Seite eine Konstante steht und nur letzte Term auf der linken Seite von z abhängt, ist dieser ebenfalls konstant:
Für die Gleichung darüber ergibt sich nach Umstellung wie in der Ebene nur mit λ-η statt λ
Wie in der Ebene führt das auf unabhängige gewöhnliche Differenzialgleichungen:[2]:18
Weitere Verallgemeinerungen auf drei Dimensionen
Elliptische Koordinaten der Ebene können noch auf andere Arten auf den dreidimensionalen Raum übertragen werden:
Zwei weitere räumliche Fortsetzungen entstehen durch Rotation der ebenen elliptischen Koordinaten um die große Achse der Ellipsen (prolate spheroidal coordinates[2]:28[3]:661) oder um deren kleine Achse (oblate spheroidal coordinates[2]:31[3]:662).
Die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln führt auf die Ellipsoid-Koordinaten, die konfokale Quadriken (Ellipsoide, ein- und zweischalige Hyperboloide) verwenden.[6][2]:41[3]:663
Literatur
D. D. Sokolov: Elliptic_coordinates. Springer, 5. Juni 2020, abgerufen am 19. April 2024.
↑ George Salmon: Analytische Geometrie der Kegelschnitte. Band1. B. G. Teubner, Leipzig/Berlin 1915, DNB 367816768, S.422.
↑ abcdefghijklmnop P. Moon, D.E. Spencer: Field Theory Handbook. Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-02732-7, S.3ff.
↑ abcd P. M. Morse, H. Feshbach: Methods of Theoretical Physics, Part I. McGraw-Hill, New York 1953.
↑ Trotz Trennung der Veränderlichen kann die Schrödinger Gleichung nur in Spezialfällen analytisch gelöst werden, da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten. In drei Dimensionen muss die Potentielle Energie eine bestimmte Form aufweisen, damit eine Lösung gelingt.
↑ ab Wolfgang Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Tensoralgebra und Tensoranalysis. Band1. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25271-7, doi:10.1007/978-3-658-25272-4.
↑ Felix Klein: Vorlesungen über höhere Geometrie. Springer, 2013, ISBN 3-642-88674-4, S.19.