Dieser Artikel behandelt Chern-Simons-Formen in beliebigen Dimensionen, für den 3-dimensionalen Fall siehe Chern-Simons-Funktional.
Die Chern-Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern-Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.
Definition
Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang
![{\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P(M),{\mathfrak {gl}}(n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0438b92810c98af0518b60521fafc13c3f9177)
ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel
.
Die Chern-Simons-1-Form wird definiert durch
,
wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.
Die Chern-Simons-3-Form wird definiert durch
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a477415134e34626488680f21494bf87f7dc6720)
Die Chern-Simons-5-Form wird definiert durch
![{\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115ca07c893a9ba560e0791d6d78096e8d7eb346)
wobei die Krümmung
definiert ist durch
![{\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a0a39307e25aca9a9f8d7e168b86e04a733363)
Die allgemeine Chern-Simons-Form
ist definiert, so dass
![{\displaystyle d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr} \left(\mathbf {F} ^{k}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b557699b4336b523aba875717dcd8d785515d9a1)
wobei
durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.
Falls
eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt
und das Integral von
über die Mannigfaltigkeit
ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante
.
Allgemeine Definition für Prinzipalbündel und invariante Polynome
Sei
eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra
und
ein invariantes Polynom.
Jedem invarianten Polynom
entspricht eine Chern-Simons-Form von
-Prinzipalbündeln wie folgt.
Sei
ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe
. Man wähle eine Zusammenhangsform
und bezeichne mit
ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form
definiert durch
![{\displaystyle Tf=\sum _{i=0}^{k-1}A_{i}f\left(\omega \wedge [\omega ,\omega ]^{i}\wedge \Omega ^{k-i-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b12cea9d44c90d474b55b4c335c1da048a96ed)
mit
.
Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu
.
Es gilt die Gleichung
,
im Fall flacher Bündel also
.
Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse
einem invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls
, dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse
in reeller Kohomologie. Die Form
ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von
. Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von
, welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in
passt in die Bockstein-Folge
,
wo sie auf die charakteristische Klasse
abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.
Siehe auch
Quellen
- Chern, S.-S.; Simons, J.: Characteristic forms and geometric invariants. The Annals of Mathematics, Second Series 99, 1974, S. 48–69.