Cauchyscher Grenzwertsatz

Der Cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Cesàro–Stolz und besagt: Aus der Konvergenz einer Zahlenfolge folgt die Konvergenz der Cesàro-Mittel der Folge gegen denselben Grenzwert. Oder: aus  ${\displaystyle a_{n}\to a}$  folgt  ${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{n})/n\ \to a}$.^[1][2]

Betrachtet man statt des gewöhnlichen arithmetischen Mittels ein gewichtetes Mittel, so folgt aus der Konvergenz der ursprünglichen Folge auch die Konvergenz der gewichteten Mittel, das heißt, es gilt der folgende Satz:^[1][2]

Sei ${\displaystyle (a_{n})}$ eine beliebige Folge mit ${\displaystyle a_{n}\to a}$ und ${\displaystyle (p_{n})}$ eine Folge positiver Zahlen mit ${\displaystyle {\frac {1}{p_{1}+\cdots +p_{n}}}\to 0}$. Dann gilt auch: ${\displaystyle {\frac {p_{1}a_{1}+\cdots +p_{n}a_{n}}{p_{1}+\cdots +p_{n}}}\to a}$ .

Für das geometrische Mittel gilt ebenfalls ein analoger Satz:^[1][2]

Sei ${\displaystyle (a_{n})}$ eine Folge mit ${\displaystyle a_{n}>0}$, ${\displaystyle a_{n}\to a}$. Dann gilt auch:   ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}\ \to a}$ .

Sei ${\displaystyle \varepsilon >0}$ beliebig und ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ so gewählt, dass  ${\displaystyle |a_{k}-a|\leq {\tfrac {\varepsilon }{2}}}$  ist für alle ${\displaystyle k\geq N}$.
Wegen  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)=0}$  gibt es ein  ${\displaystyle M\in \mathbb {N} }$  mit   ${\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}}$   für  ${\displaystyle n\geq M}$ .

Für alle ${\displaystyle n\geq \max(N,M)}$ folgt dann

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{n}}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)-a\right|&=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a)\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}(a_{k}-a)\right|\\&\leq \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{N}(a_{k}-a)\right|+{\frac {1}{n}}\sum _{k=N+1}^{n}|a_{k}-a|\leq {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {(n-N)\varepsilon }{2n}}\leq \varepsilon .\end{aligned}}}$^[2]

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, 17-te Auflage, Vieweg + Teubner 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 176–179
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer, 5. Auflage, Berlin 1964, S. 73–79 (online)
• Sen-Ming: Note on Cauchy's Limit Theorem. In: The American Mathematical Monthly, Band 57, Nr. 1 (Jan., 1950), S. 28–31 (JSTOR)

• Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf SOS Math (engl.)

1. ↑ ^{a b c} Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik - Band 1. Springer/Spektrum, 2-te Auflage 2017, S. 293 (online)
2. ↑ ^{a b c d} Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, 17-te Auflage, Vieweg + Teubner 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 176-179