Brillouin-Funktion

Brillouin-Funktion
für verschiedene Werte von J

Die Brillouin-Funktion B ( x ) {\displaystyle B(x)} (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin (1889–1969)) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:

B J ( x ) = 2 J + 1 2 J ⋅ coth ⁡ ( 2 J + 1 2 J x ) − 1 2 J ⋅ coth ⁡ ( 1 2 J x ) = ( 1 + 1 2 J ) ⋅ coth ⁡ [ ( 1 + 1 2 J ) x ] − 1 2 J ⋅ coth ⁡ ( 1 2 J x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}B_{J}(x)&={\frac {2J+1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {2J+1}{2J}}\,x\right)&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)\cdot \coth \left[\left(1+{\frac {1}{2J}}\right)x\right]&&-{\frac {1}{2J}}\cdot \coth \left({\frac {1}{2J}}\,x\right)\end{alignedat}}}

Die Formelzeichen stehen für folgende Größen:

  • J {\displaystyle J} in der physikalischen Anwendung für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
  • coth {\displaystyle \coth } für den Kotangens hyperbolicus.

Verwendung

Mit der Brillouin-Funktion kann die Magnetisierung M {\displaystyle M} eines Paramagneten der Stoffmenge N {\displaystyle N} in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:

M = N m B J ( ξ ) ⇔ B J ( ξ ) = M N m . {\displaystyle {\begin{aligned}M&=NmB_{J}(\xi )\\\Leftrightarrow B_{J}(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}}

mit

  • dem magnetischen Moment m {\displaystyle m} eines Teilchens
  • dem Parameter ξ = m B k B T = g μ B J B k B T {\displaystyle \xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}={\frac {g\mu _{\mathrm {B} }\,JB}{k_{\mathrm {B} }\,T}}}
    • dem Betrag B {\displaystyle B} der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
    • der Boltzmann-Konstante k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }}
    • der absoluten Temperatur T {\displaystyle T}
    • dem Landé-Faktor g {\displaystyle g}
    • dem Bohrschen Magneton μ B {\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }} .

Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion L {\displaystyle L} , die sich im Limes J → ∞ {\displaystyle J\to \infty } und zugleich g μ B → 0 {\displaystyle g\mu _{\mathrm {B} }\to 0} aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):

M = N m L ( ξ ) ⇔ L ( ξ ) = M N m . {\displaystyle {\begin{aligned}M&=NmL(\xi )\\\Leftrightarrow L(\xi )&={\frac {M}{Nm}}.\end{aligned}}}

Literatur

  • Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.
  • Freie Spins im Magnetfeld
  • Magnetismus und Thermodynamik