Peanovy axiomy

Giuseppe Peano (1858–1932) byl italský matematik, filosof a logik (portrét asi z roku 1920).

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} . Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} . Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

Znění axiomů

Formální zápis

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

  • ( ∃ x ) ( ∀ y ) ( y ′ ≠ x ) {\displaystyle (\exists x)(\forall y)(y'\neq x)}
  • ( ∀ x ) ( ∃ y ) ( x ′ = y ) {\displaystyle (\forall x)(\exists y)(x'=y)}
  • ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( x ′ = y ′ → x = y ) {\displaystyle (\forall x)(\forall y)(x'=y'\rightarrow x=y)}
  • ( ∀ φ ) ( φ ( 0 ) ∧ ( ∀ x ) ( φ ( x ) → φ ( x ′ ) ) → ( ∀ x ) φ ( x ) ) {\displaystyle (\forall \varphi )(\varphi (0)\land (\forall x)(\varphi (x)\rightarrow \varphi (x'))\rightarrow (\forall x)\,\varphi (x))}

Slovní zápis

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

  • Existuje číslo (zpravidla označované 0), které není následníkem žádného čísla.
  • Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
  • Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
  • Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

Axiom indukce

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost φ {\displaystyle \varphi } . Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud p {\displaystyle p} je výrok závisející na n {\displaystyle n} , tak:

∃ n ′ ∈ N   ( p ( n ′ ) ∧ ( ∀ n ∈ ⟨ n ′ , + ∞ ) ∩ N   ( p ( n ) ⟹ p ( n + 1 ) ) ) ⟹ ∀ m ∈ ⟨ n ′ , + ∞ ) ∩ N   p ( m ) {\displaystyle \exists n'\in \mathbb {N} \ (p(n')\wedge (\forall n\in \langle n',+\infty )\cap \mathbb {N} \ (p(n)\implies p(n+1)))\implies \forall m\in \langle n',+\infty )\cap \mathbb {N} \ p(m)} .

Pokud je možné najít n ′ {\displaystyle n'} pro které platí výrok p {\displaystyle p} a pokud pro výrok p {\displaystyle p} platí pro n {\displaystyle n} větší n ′ {\displaystyle n'} , tak platí pro n + 1 {\displaystyle n+1} , potom výrok p {\displaystyle p} platí pro každé m {\displaystyle m} větší n ′ {\displaystyle n'} .

Definice operací a uspořádání na přirozených číslech

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

  • Součet a + b {\displaystyle \,a+b} definujeme indukcí podle druhého sčítance: a + 0 = a , a + b ′ = ( a + b ) ′ {\displaystyle \,a+0=a,\;a+b'=(a+b)'} .
  • Součin a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} definujeme indukcí podle druhého činitele: a ⋅ 0 = 0 , a ⋅ b ′ = a ⋅ b + a {\displaystyle a\cdot 0=0,\;a\cdot b'=a\cdot b+a} .
  • Relaci a ≤ b {\displaystyle a\leq b} definujeme formulí a ≤ b ↔ ( ∃ c ) ( a + c = b ) {\displaystyle a\leq b\leftrightarrow (\exists c)(a+c=b)} .

Přirozená čísla bez nuly

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.

Související články