Měřitelný prostor

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry.[1] Sestává z libovolné neprázdné množiny a tzv. sigma-algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny neprázdné množiny) lze měřit. Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny neprázdné množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Definice

Měřitelný prostor je uspořádaná dvojice ( X , A ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} , kde[2]

  • X {\displaystyle X} je neprázdná množina,
  • A {\displaystyle {\mathcal {A}}} je σ {\displaystyle \sigma } -algebra na množině X {\displaystyle X} .

Příklad

Uvažujme množinu X = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle X=\{1,2,3\}} , pak jedna z možných σ {\displaystyle \sigma } -algeber je

A 1 = { X , ∅ } {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}} a ( X , A 1 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{1})} je měřitelný prostor,

další možnou σ {\displaystyle \sigma } -algebrou je potenční množina množiny X {\displaystyle X} , tj.:

A 2 = P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X)} a ( X , A 2 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{2})} je jiný měřitelný prostor.

Měřitelné prostory

  • Pokud X {\displaystyle X} je konečná nebo spočetná množina, pak potenční množina množiny X {\displaystyle X} je σ {\displaystyle \sigma } -algebrou, tj. A = P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)} . Měřitelný prostor je pak ( X , P ( X ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))} .
  • Pokud X {\displaystyle X} je topologický prostor, pak σ {\displaystyle \sigma } -algebra může být borelovská množina B {\displaystyle {\mathcal {B}}} , tj. A = B ( X ) {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)} . Měřitelný prostor je pak ( X , B ( X ) ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))} , obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny reálných čísel R {\displaystyle \mathbb {R} } .

Borelovské prostory

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů, může znamenat:

  • jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše[1],
  • měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel, která je borelovskou σ {\displaystyle \sigma } -algebrou[3].

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Measurable space na anglické Wikipedii.

  1. ↑ a b SAZONOV, V. V. Měřitelný prostor. [s.l.]: Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers Dostupné online. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  2. ↑ KLENKE, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008. ISBN 978-1-84800-047-6. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. ↑ KALLENBERG, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Svazek 77. Švýcarsko: Springer, 2017. (Probability Theory and Stochastic Modelling). ISBN 978-3-319-41596-3. DOI 10.1007/978-3-319-41598-7. 

Související články