Gaussův integrál

Graf funkce e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} a plochy mezi funkcí a osou x {\displaystyle x} ; tato plocha se rovná π {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} přes celou reálnou osu:

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} .

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme Y {\displaystyle Y} :

Y = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle Y=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x} .

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme y {\displaystyle y} :

Y 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y {\displaystyle Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} y} .

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí:

Y 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 e − y 2 d x d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle Y^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})}\mathrm {d} x\mathrm {d} y} .

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} . Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic ( φ , r ) {\displaystyle (\varphi ,r)} , do kterých funkci přepíšeme:

Y 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r d φ = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r {\displaystyle Y^{2}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\mathrm {d} r\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\mathrm {d} r} .

Tento integrál už lze jednoduše vyřešit substitucí u = r 2 {\displaystyle u=r^{2}} a jeho hodnota je π {\displaystyle \pi } . Odmocněním rovnice dostaneme výsledek:

Y = π {\displaystyle Y={\sqrt {\pi }}} .

Reference

  1. ↑ Пуассона интеграл Archivováno 28. 8. 2009 na Wayback Machine., БСЭ

Literatura

  • Josef Kvasnica: Matematický aparát fyziky, Academia, Praha 1997, ISBN 80-200-0603-6

Související články