Evoluční operátor

Evoluční operátor vyjadřuje časový vývoj fyzikálního systému, používá se zejména v kvantové mechanice.

Časový vývoj je změna stavu fyzikálního (či jiného) systému způsobená postupem času. Matematicky se časový vývoj často popisuje pomocí diferenciálních rovnic, tzv. pohybových rovnic. V klasické mechanice jsou to například Hamiltonovy rovnice nebo dvě ze čtyř Maxwellových rovnic, v kvantové mechanice je to Schrödingerova rovnice závislá na čase. Časový vývoj lze vyjádřit i pomocí evolučního operátoru, tedy operátoru, který převádí stav systému z jednoho časového okamžiku do jiného.

Evoluční operátor v kvantové teorii

Evoluční operátor v kvantové teorii určuje časový vývoj systému. Operátor U určuje vývoj stavů v čase t, což lze zapsat jako

| ψ ( t ) ⟩ = U ^ ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } .

Při jeho určení se vychází z hamiltoniánu systému H a ze Schrödingerovy rovnice:

d U ^ ( t , t 0 ) d t = 1 i ℏ H ^ ( t ) U ^ ( t , t 0 ) {\displaystyle {\frac {d{\hat {U}}(t,t_{0})}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})} .

Pokud hamiltonián systému nezávisí na čase, lze rovnici formálně řešit. Platí:

U ( t , t 0 ) = exp ⁡ ( − i ℏ H ^ ( t − t 0 ) ) {\displaystyle U(t,t_{0})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})\right)} .

Pro evoluční operátor platí:

U ^ ( t , t 0 ) = U ^ ( t , t 1 ) U ^ ( t 1 , t 0 ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {U}}(t,t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})} ,
U ^ ( t , t ) = 1 {\displaystyle {\hat {U}}(t,t)=1} ,
U ^ ( t , t 0 ) = U − 1 ( t 0 , t ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=U^{-1}(t_{0},t)} .

Dále je evoluční operátor operátorem unitárním, neboť nemění velikost normy vektoru, tedy

U ^ ( t , t 0 ) U ^ + ( t , t 0 ) = 1 {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0}){\hat {U}}^{+}(t,t_{0})=1} .

Výpočet evolučního operátoru je obecně nesnadnou záležitostí, známe-li však vlastní čísla ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}} a vlastní vektory ψ i {\displaystyle \psi _{i}} časově nezávislého hamiltoniánu, pak je evoluční operátor dán jako:

U ^ ( t , t 0 ) = ∑ i exp ⁡ ( − i ℏ ϵ i ( t − t 0 ) ) | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=\sum _{i}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\epsilon _{i}(t-t_{0})\right)|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|} ,

kde platí

H ^ | ψ i ⟩ = ϵ i | ψ i ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{i}\rangle =\epsilon _{i}|\psi _{i}\rangle } ,
⟨ ψ i | ψ j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij}} ,
∑ i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | = 1 {\displaystyle \sum _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|=1} .

Literatura

  • BJORKEN, James D.; DRELL, Sidney D. Relativistic Quantum Mechanic. 1. vyd. [s.l.]: McGraw-Hill Education, 1998. 314 s. ISBN 00-723-2002-8. (anglicky) 
  • FORMÁNEK, Jiří. Úvod do kvantové teorie 1. 2. vyd. Praha: Academia, 2004. 502 s. ISBN 80-200-1176-5. 
  • FORMÁNEK, Jiří. Úvod do relativistické kvantové mechaniky a kvantové teorie pole. 1. vyd. Praha: Karolinum, 2000. 3 svazky (932 s.). ISBN 80-246-0063-3. 
  • GRIFFITHS, David. Introduction to Elementary Particles. [s.l.]: John Wiley & Sons Inc, 1987. 392 s. pdf. ISBN 0-471-60386-4. (anglicky) 
  • GROSS, Franz. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. revidované. vyd. [s.l.]: Wiley-VCH, 1999. 643 s. ISBN 04-713-5386-8. Kapitola 1-6. (anglicky)