Tronc de con

El tronc de con,^[1] con truncat^[2] o tronc de Garófalo és un sòlid de revolució generat per un trapezi rectangle en prendre com a eix de gir el costat perpendicular a les bases.

Un tronc de con recte, de bases paral·leles, és la porció de con comprès entre dos plans que el tallen i són perpendiculars al seu eix. Queda determinat pels radis de les bases, ${\displaystyle r_{1}\,}$ i ${\displaystyle r_{2}\,}$, altura, ${\displaystyle h\,}$, i la generatriu, ${\displaystyle s\,}$, entre les quals es compleix la relació de l'teorema de Pitàgores:

${\displaystyle s^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}$

Àrea i volum

L'àrea lateral d'un tronc de con es pot trobar mitjançant la semisuma dels perímetres de les bases, per la generatriu:^[3][4]

${\displaystyle A_{L}={\frac {2\pi r_{1}+2\pi r_{2}}{2}}s}$

${\displaystyle A_{L}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}$

L'àrea d'un tronc de con, la qual és l'àrea lateral més l'àrea de les bases superior i inferior, es pot trobar mitjançant la fórmula:

${\displaystyle A=A_{1}+A_{2}+A_{L}\,}$

${\displaystyle A=\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}$

${\displaystyle A=\pi \left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}\right)s]}$

El volum d'un tronc de con es pot trobar utilitzant el producte entre l'altura del tronc i la mitjana heroniana de l'àrea de les bases:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(A_{1}+A_{2}+{\sqrt {A_{1}A_{2}}}\right)\,}$

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+{\sqrt {\pi r_{1}^{2}\pi r_{2}^{2}}}\right)\,}$

${\displaystyle V={\frac {h\pi }{3}}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2})\,}$

Referències

Vegeu també

• Tronc (geometria)
• Tronc de piràmide
• Mitjana heroniana
• Con (geometria)

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Tronc de con» a MathWorld (en anglès).
• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• Problema sobre un tronc de con el·líptic i el seu volum