Funció de covariància

En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la funció de covariància descriu quant canvien juntes dues variables aleatòries (la seva covariància) amb una separació espacial o temporal variable. Per a un camp aleatori o procés estocàstic Z (x) en un domini D, una funció de covariància C (x ,y) dóna la covariància dels valors del camp aleatori a les dues ubicacions x i y: ^[1]

${\displaystyle C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y))=\mathbb {E} \left[\{Z(x)-\mathbb {E} [Z(x)]\}\cdot \{Z(y)-\mathbb {E} [Z(y)]\}\right].\,}$

El mateix C (x , y) s'anomena funció d'autocovariància en dos casos: en sèries temporals (per denotar exactament el mateix concepte excepte que x i y es refereixen a ubicacions en el temps més que en l'espai) i en camps aleatoris multivariants (per referir-se a la covariància d'un variable amb si mateixa, a diferència de la covariància creuada entre dues variables diferents en ubicacions diferents, Cov(Z (x₁),Y (x₂))).^[2]

Simplificacions amb estacionarietat

En el cas d'un camp aleatori dèbilment estacionari, on

${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,}$

per a qualsevol retard h, la funció de covariància es pot representar mitjançant una funció d'un paràmetre

${\displaystyle C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,}$

que s'anomena covariograma i també funció de covariància. Implícitament el C (x_i,x_j) es pot calcular a partir de C_s(h) per:

${\displaystyle C(x,y)=C_{s}(y-x).\,}$

La definició positiva d'aquesta versió d'un sol argument de la funció de covariància es pot comprovar amb el teorema de Bochner.^[3]

Famílies paramètriques de funcions de covariància

Per a una variància determinada ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, una funció de covariància paramètrica estacionària simple és la "funció de covariància exponencial"

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-d/V)}$

on V és un paràmetre d'escala (longitud de correlació) i d = d(x, y) és la distància entre dos punts. Els camins de mostra d'un procés gaussià amb la funció de covariància exponencial no són suaus. La funció de covariància "exponencial quadrat" (o " Gauss "):

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-(d/V)^{2})}$

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-(d/V)^{2})}$

La funció de covariància de Matérn i la funció de covariància quadràtica racional són dues famílies paramètriques de funcions de covariància estacionàries. La família Matérn inclou les funcions de covariància exponencial i exponencial quadrada com a casos especials.^[4]

Referències