Funció de Mittag-Leffler

Funció de Mittag-Leffler

En matemàtiques, la Funció de Mittag-Leffler E α , β {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }} és una funció especial, una funció complexa que depèn de dos paràmetres complexos α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } . Es pot definir, de forma generalitzada, per la següent sèrie quan la part real de α {\displaystyle \alpha } és estrictament positiva:[1]

E α , β ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k Γ ( α k + β ) {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}}

en la que Γ {\displaystyle \Gamma } és la funció gamma i α , β ∈ C {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } .

En la seva forma especial (monoparamètrica)[2] es defineix per la sèrie

E α ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k Γ ( α k + 1 ) {\displaystyle E_{\alpha }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}}

Quan α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } són reals i positives, la sèrie és convergent per a tots els valors de l'argument z {\displaystyle z} ,[3] per això la funció de Mittag-Leffler és una funció entera. La funció rep el nom de Gösta Mittag-Leffler que la va formular a començaments del segle xx.[4] Aquesta mena de funcions són importants en la teoria del càlcul fraccionari i les seves aplicacions a l'estudi de les equacions diferencials i integrals.[5]

Per a α > 0 {\displaystyle \alpha >0} , la funció de Mittag-Leffler E α , 1 {\displaystyle E_{\alpha ,1}} és una funció entera d'ordre 1 / α {\displaystyle 1/\alpha } i és, en algun sentit, la més simple de les funcions enteres d'aquest ordre.

La funció de Mittag-Leffler satisfà la següent propietat recurrent

E α , β ( z ) = 1 z E α , β − α ( z ) − 1 z Γ ( β − α ) , {\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)={\frac {1}{z}}E_{\alpha ,\beta -\alpha }(z)-{\frac {1}{z\Gamma (\beta -\alpha ),}}}

Casos especials

Per α = 0 {\displaystyle \alpha =0} trobem la suma d'una progressió geomètrica:

E 0 , 1 ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k = 1 1 − z . {\displaystyle E_{0,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}.}

Per α = 1 {\displaystyle \alpha =1} trobem una funció exponencial:

E 1 , 1 ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k Γ ( k + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ z k k ! = exp ⁡ ( z ) . {\displaystyle E_{1,1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).}

Per α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2} trobem una funció d'error:

E 1 / 2 , 1 ( z ) = exp ⁡ ( z 2 ) erfc ⁡ ( − z ) . {\displaystyle E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).}

Per α = 2 {\displaystyle \alpha =2} trobem un cosinus hiperbòlic:

E 2 , 1 ( z ) = cosh ⁡ ( z ) . {\displaystyle E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).}

Per α = 0 , 1 , 2 {\displaystyle \alpha =0,1,2} , la seva integral

∫ 0 z E α , 1 ( − s 2 ) d s {\displaystyle \int _{0}^{z}E_{\alpha ,1}(-s^{2})\,{\mathrm {d} }s}

dona, respectivament:

arctan ⁡ ( z ) , {\displaystyle \arctan(z),}
π 2 erf ⁡ ( z ) , {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (z),}
sin ⁡ ( z ) . {\displaystyle \sin(z).}

Referències

  1. ↑ Mathai i Haubold, 2008, p. 79-80.
  2. ↑ Gorenflo et al., 2014, p. 17 i ss.
  3. ↑ Gorenflo et al., 2014, p. 55.
  4. ↑ Haubold, Mathai i Saxena, 2011, p. 2.
  5. ↑ Gorenflo et al., 2014, p. 16.

Bibliografia

  • Gorenflo, Rudolf; Kilbas, Anatoly A.; Mainardi, Francesco; Rogosin, Sergei V. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications (en anglès). Springer, 2014. ISBN 978-3-662-43929-6. 
  • Haubold, H.J.; Mathai, A.M.; Saxena, R.K. «Mittag-Leffler Functions and Their Applications». Journal of Applied Mathematics, Vol. 2011, 2011. DOI: 10.1155/2011/298628. ISSN: 1110-757X.
  • Mathai, A.M.; Haubold, Hans J. Special Functions for Applied Scientists (en anglès). Springer, 2008. ISBN 978-0-387-75893-0. 

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W. «Mittag-Leffler Function». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 20 desembre 2017]. (anglès)