Una forma quadràtica (real) és un polinomi homogeni de grau dos que involucra
variables
:
![{\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{i\,j}\,x_{i}\,x_{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78d35c3ceb890506ea330185fd7fdaaaea1dacc)
on
.
Les formes quadràtiques d'una, dues i tres variables són:
![{\displaystyle Q(x)=ax^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4b73b29958bd1f9589c1f5a73d805c0fc88c26)
![{\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9722ca159e699e3f82e38f84b8847b42dd1ae166)
![{\displaystyle Q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47ca3c01de7d1ec36e741fb87d4ecd00f8ed374)
Per exemple, la distància entre dos punts en l'espai euclidià es troba amb l'arrel quadrada d'una forma quadràtica que conté sis variables: les tres coordenades espacials dels dos punts:
![{\displaystyle d^{2}(p,q)=(x_{p}-x_{q})^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2}=x_{p}^{2}+x_{q}^{2}-2x_{p}x_{q}+y_{p}^{2}+y_{q}^{2}-2y_{p}y_{q}+z_{p}^{2}+z_{q}^{2}-2z_{p}z_{q}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017018d553a012cf978978c807c4b0eea6381d4a)
Notació matricial
Seguint els convenis de l'Àlgebra lineal, escriurem els vectors en columna:
, on
és la transposada de la matriu o del vector
. Considerem la matriu
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\big (}A_{ij}{\big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed2838eac7507b0d52e3cb64574880a14130a6bb)
Aleshores, la forma quadràtica s'escriu
![{\displaystyle Q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3553f5272c776103617ff39ebb2442404a0c9af)
Definim la matriu
![{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\Big (}(A_{ij}+A_{ji})/2{\Big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n}={\frac {1}{2}}{\big (}A+A^{\rm {T}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d60b573af1d73538cbc144d67204303a82c2d5)
Aquesta matriu és simètrica i es compleix que
![{\displaystyle Q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d87ea477f771938f0cef3e73b32540b497100de)
Per tant, sense pèrdua de generalitat, en moltes situacions es pot suposar que la matriu associada a una forma quadràtica (real) és simètrica.
Situacions més generals
Per veure la definició de formes quadràtiques en situacions més generals, vegeu, per exemple Queysanne (1971:cap. 15).
Bibliografia
Queysanne, Michel. Álgebra básica. Barcelona: Vicens-Vives, 1971. ISBN 84-316-1360-2.
Registres d'autoritat | - BNF (1)
- GND (1)
- LCCN (1)
- NDL (1)
- NKC (1)
|
---|