Continuació analítica

En matemàtiques, i més concretament en anàlisi complexa, una extensió analítica (o continuació analítica) és una tècnica per ampliar el domini d'una funció analítica donada.

Introducció

Considerem un punt ${\displaystyle p}$ del pla complex i la sèrie de potències en ${\displaystyle z-p}$:

${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}(z-p)+\alpha _{2}(z-p)^{2}+\alpha _{3}(z-p)^{3}+...}$

Aquesta sèrie de potències convergeix en un cert cercle ${\displaystyle C_{1}}$ de centre ${\displaystyle p}$ i, doncs, hi defineix una funció holomorfa ${\displaystyle f}$; escrivem ${\displaystyle f_{p}}$ per a posar en evidència el punt de desenvolupament.

Considerem un punt ${\displaystyle q\in C_{1}}$ i desenvolupem ${\displaystyle f}$ en sèrie de potències de ${\displaystyle z-q}$:

${\displaystyle f_{q}(z)=\beta _{0}+\beta _{1}(z-q)+\beta _{2}(z-q)^{2}+\beta _{3}(z-q)^{3}+...}$

Si és cas que el cercle de convergència ${\displaystyle C_{2}}$ d'aquesta darrera sèrie no sigui continugut en ${\displaystyle C_{1}}$, hom ha de fet obtingut una coneixença més ampla de ${\displaystyle f}$, mitjançant la definició: ${\displaystyle f(z):=\left\{{\begin{matrix}f_{p}(z)&{\textrm {si}}\ z\in C_{1}\\f_{q}(z)&{\textrm {si}}\ z\in C_{2}\end{matrix}}\right.}$

Aquesta definició és bé posada, perquè ${\displaystyle z\in C_{1}\cap C_{2}\Rightarrow f_{p}(z)=f_{q}(z)}$.

Direm que l'extenció de ${\displaystyle f}$ a ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ així obtinguda és una continuació analítica (o també un prolongament analític) de ${\displaystyle f_{p}:C_{1}\rightarrow \mathbb {C} }$; direm també que ${\displaystyle f_{q}:C_{2}\rightarrow \mathbb {C} }$ és una continuació analítica de ${\displaystyle f_{p}:C_{1}\rightarrow \mathbb {C} }$ i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues sèries de potències ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{2^{n+1}}}\ (\vert z\vert <2)}$ i ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-i)^{n}}{(2-i)^{n+1}}}\ (\vert z-i\vert <{\sqrt {5}})}$ són cadascuna una continuació analítica de l'altra. Notem que totes dues representen la funció ${\displaystyle z\mapsto 1/(2-z)}$. Més en general, si és cas que ${\displaystyle f}$, definida a priori dins un conjunt obert ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$, es pugui restringir a un conjunt obert ${\displaystyle V\subset U}$ i successivament ${\displaystyle f\vert _{V}}$ pugui ésser prolongada a un conjunt obert ${\displaystyle W\not \subset U}$, direm que la nova funció obtenida es una continuació analítica de ${\displaystyle f}$.

Les definicions bàsiques

Un element de funció 1holomorfa és un parell ${\displaystyle \left(U,f\right)}$, on ${\displaystyle U}$ és un conjunt obert a connexió simple del pla complex, ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ una funció holomorfa definida en ${\displaystyle U}$, que pren valors en ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dos elements ${\displaystyle \left(U,f\right)}$ i ${\displaystyle \left(V,g\right)}$ són conectables si existeix una successió finita

${\displaystyle \left\{(U_{j},f_{j})\right\}_{j=0,....,n}}$,

tal que ${\displaystyle \left(U_{0},f_{0}\right)=\left(U,f\right)}$, ${\displaystyle \left(U_{n},f_{n}\right)=\left(V,g\right)}$ i, per a tot ${\displaystyle j=0,....,n-1}$,

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}&U_{j}\cap U_{j+1}\not =\emptyset ,\\&f_{j+1}\vert _{U_{j}\cap U_{j+1}}=f_{j}\vert _{U_{j}\cap U_{j+1}}.\end{matrix}}\right.}$

Direm que ${\displaystyle \ \{(U_{i},f_{i})\}_{i=0...n}\ }$ és una continuació analítica de ${\displaystyle (U,f)}$ (o de ${\displaystyle (V,g)}$). Direm també, si no hi ha possibilitat de confusió, que cada element és una continuació analítica de ${\displaystyle (U,f)}$ (o de ${\displaystyle (V,g)}$). Els elements ${\displaystyle \left\{(U_{j},f_{j})\right\}_{j=0,....,n}}$ es diran enllaçats.

Una continuació analítica al llarg d'un camí ${\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow \mathbb {C} }$ (per a senzillesa suposem que ${\displaystyle \gamma }$ sigui ${\displaystyle C^{1}}$ a trets) és una continuació analítica ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}_{i=0...n}}$ tal que ${\displaystyle \bigcup _{i=0}^{n}U_{i}\supset \gamma ([0,1])}$.

Cal sens dubte recordar que la continuació analítica al llarg d'un camí tancat no conserva pas, en general, els valors de la funció en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinació ${\displaystyle \varphi }$ de la funció 'arrel quadrada complexa', en un entorn de ${\displaystyle 1}$, tal que ${\displaystyle \varphi (1)=1}$.

Es pot veure ${\displaystyle \varphi }$, en coordenades polars, com a l'aplicació que envia ${\displaystyle \varrho \exp(i\vartheta )}$ cap a ${\displaystyle {\sqrt {\varrho }}\exp(i\vartheta /2)}$, on ${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ indica l'operació d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem ${\displaystyle \varphi }$ al llarg de la circumferència unitat: després una volta compleda, és a dir un increment de ${\displaystyle \vartheta }$ igual a ${\displaystyle 2\pi }$, obtenim un nou element de funció holomorfa ${\displaystyle \psi }$ en un entorn de ${\displaystyle 1}$, que ha redu\"\i t a meitat l'increment de ${\displaystyle 2\pi }$ l'argument de ${\displaystyle z}$.

Doncs, ${\displaystyle \arg(\psi (z))=\arg(\varphi (z))+\pi }$, és a dir ${\displaystyle \varphi =-\psi }$. Naturalment, una altra volta de ${\displaystyle 2\pi }$ ens porta de bell nou a l'element de partida ${\displaystyle \varphi }$.

Es pot veure que el conjunt de les continuacions analítiques d'un mateix element forma de manera natural una superfície de Riemann, anomenada superfície de Riemann de l'element o també continuació analítica maximal, que existeix gràcies al Lema de Zorn.

Formació de fronteres naturals

Considerem un element de funció holomorfa ${\displaystyle (U,f)}$: pot succeir que, per a cada restricció ${\displaystyle (V,g)}$ de ${\displaystyle (U,f)}$ (és a dir, ${\displaystyle V\subset U}$ i ${\displaystyle g=f\vert _{V}}$) no existeixi cap continuació analítica ${\displaystyle (W,h)}$ de ${\displaystyle (V,g)}$ tal que ${\displaystyle W\cap U\not \subset U}$. Si és cas, direm que ${\displaystyle \partial U}$ és una frontera natural per a l'element ${\displaystyle (U,f)}$. Considerem per exemple la série de potències

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}=1+z^{2}+z^{4}+z^{8}+...}$:

gràcies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc ${\displaystyle \vert z\vert <1}$, i, doncs, hi defineix una funció holomorfa ${\displaystyle h}$. De més, ${\displaystyle h(z)\to \infty }$ llavors que ${\displaystyle z\to 1}$ al llarg de l'eix real. Puix que ${\displaystyle h(z^{2})=1+z^{4}+z^{8}+z^{16}+...=h(z)-z^{2}}$ hom ha ${\displaystyle \lim _{z\to {-1},z\in \mathbb {R} }h(z)=}$ ${\displaystyle \lim _{z\to {-1},z\in \mathbb {R} }\left(z^{2}+h(z^{2})\right)=\infty }$.

De la mateixa manera, ${\displaystyle h(z)=z^{2}+z^{4}+h(z^{4})}$, ja que ${\displaystyle h\to \infty }$ llavors que ${\displaystyle z\to \pm i}$ al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general, ${\displaystyle h(z)=z^{2}+...+z^{2^{n}}+h(z^{2^{n}})}$, per a tot nombre natural ${\displaystyle n}$, ja que ${\displaystyle h\to \infty }$ llavors que ${\displaystyle z\to \exp({2k\pi /2^{n}})}$ al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma ${\displaystyle \exp({2k\pi /2^{n}}),\ k,n\in \mathbb {Z} }$ és dens dins el cercle ${\displaystyle \mathbb {T} =\{\vert z\vert =1\}}$, ja que ${\displaystyle h}$ no admet cap continuació analítica a algun punt d'aquesta corba: ella és, doncs, una frontera natural.

Observem que ${\displaystyle h}$ pot tampoc ser continuada als punts de ${\displaystyle \mathbb {T} }$ com a funció meromorfa, perquè, en aquest cas, ${\displaystyle 1/h}$ s'anul${\displaystyle \cdot }$laria en un conjunt amb un punt d'acumulació i seria, doncs, idènticament zero.