En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat ). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor d'Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.
Una mesura de probabilitat sempre es defineix sobre un espai mesurable és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat és una aplicació de en
Primer axioma
Per a tot esdeveniment :
És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.
Segon axioma
Si designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,
- ,
És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.
Tercer axioma
Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles), satisfà:
- .
És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).
Conseqüències
A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:
demostració
Fent servir el 3r axioma amb
per a tot
s'obté
relació que no es pot satisfer si
ja que llavors el terme de dreta val
>Per tant no hi ha altra opció que
.
- Si , són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors
- De forma més general, si és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors
Demostració
Fent servir el 3r axioma amb
per a tot
s'obté una successió d'esdeveniments incompatibles 2 a 2 tals que
per tant
però en virtut del tercer axioma
i finalment, ja que per a tot
s'obté el resultat desitjat.
- ;
Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència . Aquesta relació es desprèn del fet que B és reunió disjunta de i de
- En particular, si , llavors
És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on , la propietat precedent s'escriu
- on el primer terme és clarament positiu o zero.
- En el cas particular on això dona que, per a tot esdeveniment ,
Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.
- Per a tots els esdeveniments ,
Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments o es realitzi és igual a la suma de les probabilitats que es realitzi, i perquè es realitzi, menys la probabilitat que i es realitzin de manera simultània. També,
que dona la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.
Límits creixents i decreixents
- Tota successió creixent d'esdeveniments satisfà:
És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.
Demostració
Es posa
Llavors els són disjunts i verifiquen
Les propietats de σ-additivitat i d'additivitat, respectivament, comporten llavors que
Llavors
no és més que la definició de la suma d'una sèrie com a límit de les seves sumes parcials.
- Tota successió decreixent d'esdeveniments satisfà:
És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.
Formulació a partir de la teoria de la mesura
De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual, , té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:
En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».
Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.